Devoirs 1er Semestre – Cours

Résumé et Points Clés

Devoir Surveillé 1 – Mathématiques (2ème Bac Sciences Physiques)

Ce devoir comprend deux exercices principaux sur l’étude de fonctions.

Exercice 1 : Étude d’une fonction rationnelle

• La fonction principale est définie par f(x) = (x³ – 4) / (x² + 1).
• La première partie introduit une fonction auxiliaire g(x) = x³ + 3x + 8. Il faut étudier ses variations, montrer que l’équation g(x)=0 a une solution unique α dans [-2;0], et déterminer son signe.
• Pour la fonction f, il faut calculer ses limites en ±∞, sa dérivée f'(x) = [x(x³+3x+8)] / (x²+1)², puis établir son tableau de variations en utilisant le signe de g(x).
• Une manipulation algébrique permet de montrer que f(α) = (3/2)α et d’en déduire un encadrement de cette valeur.

Exercice 2 : Fonction réciproque

• La fonction est g(x) = x – 2√x, définie sur ℝ⁺.
• Il faut démontrer qu’elle est strictement croissante sur [1, +∞[, déterminer son image J sur cet intervalle, puis prouver l’existence de sa fonction réciproque g⁻¹ de J vers [1, +∞[ et l’exprimer.
• Enfin, il faut résoudre dans [1, +∞[ l’équation x² – 4x√x + 4x = 1, qui se ramène à une équation utilisant la fonction g.

Conseils pour l’examen : Maîtriser l’étude complète des variations d’une fonction (dérivée, signe, limites). Bien comprendre le lien entre le signe d’une fonction auxiliaire et les variations de la fonction principale. Pour la réciproque, vérifier soigneusement la monotonie et l’intervalle avant de l’exprimer.