Géométrie dans l’espace (Produit scalaire dans l’espace – Produit vectoriel) – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du TD : Géométrie dans l’espace (Produit scalaire)

Ce TD, destiné aux élèves de 2BAC sciences expérimentales, propose une série d’exercices pour maîtriser le produit scalaire dans l’espace. Les concepts clés abordés sont :

• Calcul du produit scalaire dans des configurations géométriques (cubes) en utilisant les propriétés de projection et d’orthogonalité.
• Manipulation des expressions vectorielles (ex : (2AB).BC) et utilisation de l’identité remarquable ||u+v||².
• Détermination d’un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs.
• Étude de l’orthogonalité entre une droite et un plan.
• Utilisation d’un repère orthonormé pour calculer des coordonnées, prouver l’orthogonalité de vecteurs et établir qu’un vecteur est normal à un plan.
• Équations cartésiennes de plans (passant par un point avec un vecteur normal donné).
• Positions relatives entre plans (plans orthogonaux, plans parallèles).
• Sphères : détermination de leur équation cartésienne (centre et rayon), représentation paramétrique, et étude de leur position relative avec une droite ou un plan (sécant, tangent, disjoint).
• Plan tangent à une sphère en un point donné.
• Intersection d’une sphère et d’un plan (cercle).
• Familles de sphères dépendant d’un paramètre et recherche d’éléments communs (cercle d’intersection).

Conseils pour l’examen : Maîtrisez les méthodes de calcul du produit scalaire (projection, coordonnées). Entraînez-vous à passer de la géométrie pure à l’utilisation d’un repère. Pour les sphères, sachez retrouver le centre et le rayon à partir de l’équation développée et appliquer correctement les formules de distance pour étudier les positions relatives. La pratique régulière d’exercices variés est essentielle.