Équations différentielles – Cours

Résumé et Points Clés

Équations différentielles – Résumé du Cours

Ce cours traite des équations différentielles linéaires à coefficients constants au programme du secondaire. L’objectif est de trouver toutes les fonctions (solutions générales) vérifiant une telle équation.

I. Équation de la forme y’ = ay + b

• C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
• Solution générale : Elle dépend des coefficients a et b.
  • Si a ≠ 0 : Les solutions sont de la forme f(x) = αe^(ax) – b/a, avec α ∈ ℝ.
  • Si a = 0 et b = 0 (y’=0) : Les solutions sont les fonctions constantes f(x) = α.
  • Si a = 0 et b ≠ 0 (y’=b) : Les solutions sont de la forme f(x) = bx + α.
• Condition initiale : Pour une condition f(x₀)=y₀, il existe une solution unique obtenue en déterminant la valeur spécifique du paramètre α.

II. Équation de la forme y” + ay’ + by = 0

• C’est une équation différentielle linéaire du second ordre, sans second membre.
• On associe son équation caractéristique : r² + ar + b = 0, de discriminant Δ = a² – 4b.
• La solution générale dépend du signe de Δ :
  • Δ > 0 : Deux racines réelles r₁ et r₂. Solution : y(x) = αe^(r₁x) + βe^(r₂x).
  • Δ = 0 : Une racine réelle double r₁. Solution : y(x) = (αx + β)e^(r₁x).
  • Δ < 0 : Deux racines complexes conjuguées p ± qi. Solution : y(x) = e^(px)[α cos(qx) + β sin(qx)].

Conseils pour les examens : Identifiez correctement la forme de l’équation (1er ou 2nd ordre). Pour le 1er ordre, appliquez directement la formule en fonction des cas de a et b. Pour le 2nd ordre, écrivez et résolvez systématiquement l’équation caractéristique pour déterminer le cas (Δ) et appliquer la formule de solution correspondante. Pensez à utiliser la condition initiale si elle est donnée pour trouver la solution particulière.