Calcul intégral – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du document : Calcul intégral – Exercices

Ce document est une série d’exercices complets sur le calcul intégral, destinée aux élèves de Baccalauréat scientifique (sciences expérimentales). Il couvre les concepts fondamentaux et les techniques essentielles pour maîtriser l’intégration.

Concepts et Définitions Clés :

• Intégrale définie : Calcul de l’aire sous une courbe sur un intervalle donné. Notée ∫_a^b f(x) dx.
• Primitives : Recherche de fonctions dont la dérivée est la fonction à intégrer. Essentielle pour le calcul intégral.
• Propriétés de linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Utilisée pour simplifier les calculs.
• Intégration par parties : Technique basée sur la formule ∫u’v = [uv] – ∫uv’. Cruciale pour intégrer des produits de fonctions.
• Changement de variable : Méthode pour transformer une intégrale complexe en une forme plus simple.
• Intégrales de fonctions trigonométriques : Inclut la linéarisation (ex: cos⁴x) et l’utilisation d’identités.
• Intégrales avec logarithmes et exponentielles : Formes courantes comme ∫(ln x)/x dx ou ∫ e^kx dx.
• Calcul d’aires et de volumes : Application géométrique des intégrales pour trouver des surfaces et des volumes de révolution.
• Suites intégrales : Étude de suites définies par une intégrale (ex: u_n = ∫₀¹ 1/(1+xⁿ) dx), incluant la monotonie et la convergence.

Conseils pour les Examens :

• Maîtriser les primitives usuelles (fonctions puissances, trigonométriques, exponentielles). C’est la base de tout calcul.
• Reconnaître les formes menant à l’intégration par parties (produit d’une polynôme par une exponentielle, par exemple).
• Penser à la décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles (voir exercices 10, 11, 13).
• Utiliser la parité ou la périodicité des fonctions, et les relations entre intégrales (comme I+J et I-J) pour simplifier les calculs.
• Pour les aires et volumes, bien identifier les bornes d’intégration et s’assurer que la fonction est positive sur l’intervalle pour l’aire.
• Pour les suites intégrales, utiliser l’encadrement de la fonction à intégrer pour encadrer la suite et trouver sa limite.
• S’entraîner régulièrement sur des exercices variés, comme ceux proposés, pour acquérir des réflexes et de la vitesse.