Calcul intégral – Cours

Résumé et Points Clés

Calcul intégral – Résumé du cours

Ce cours de calcul intégral s’adresse aux niveaux 2 P.C. et 2 S.V. Il couvre les concepts fondamentaux pour comprendre et calculer les intégrales.

I. Définition de l’intégrale
Pour une fonction continue f sur un segment [a, b], et F une primitive de f, l’intégrale de f de a à b est définie par : ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a). La variable d’intégration (x, y, t) est muette.

II. Propriétés fondamentales

• Relation avec la dérivée : ∫_a^b f'(x) dx = f(b) – f(a).
• Relation de Chasles : Pour a ≤ c ≤ b, ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx. Aussi, ∫_a^a f(x) dx = 0 et ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx.
• Linéarité : L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales, et on peut factoriser une constante.
• Ordre : Si f(x) ≤ g(x) sur [a, b], alors ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.

III. Valeur moyenne d’une fonction
Pour f continue sur [a, b], sa valeur moyenne est le nombre : (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx. Il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) soit égal à cette moyenne.

IV. Intégration par parties
Méthode pour intégrer un produit de fonctions. Si u et v sont dérivables avec des dérivées continues sur [a, b], alors : ∫_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b – ∫_a^b u'(x)v(x) dx. Une disposition pratique en 4 étapes (choix de u et v’, dérivation de u, intégration de v’, application de la formule) est recommandée.

V. Calcul d’aires (Applications)
L’intégrale permet de calculer l’aire (en unités d’aire, u.a) d’une surface délimitée par une courbe et l’axe des abscisses.

• Si f ≥ 0 sur [a, b], Aire = ∫_a^b f(x) dx.
• Si f ≤ 0 sur [a, b], Aire = -∫_a^b f(x) dx.
• Si f change de signe, il faut découper l’intervalle et utiliser la relation de Chasles en tenant compte des signes.
• Pour une fonction paire sur [-a, a], ∫_-a^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx.
• Pour une fonction impaire sur [-a, a], ∫_-a^a f(x) dx = 0.
• L’aire entre deux courbes C_f et C_g sur [a, b] est donnée par ∫_a^b |f(x) – g(x)| dx.

Conseils pour les examens

• Maîtriser la recherche de primitives et les formules de base.
• Identifier rapidement la propriété à appliquer (linéarité, Chasles, par parties).
• Pour le calcul d’aires, toujours étudier le signe de la fonction sur l’intervalle.
• L’intégration par parties est souvent utile pour les formes du type (polynôme × fonction trigo/exponentielle) ou pour les logarithmes.
• Vérifier les bornes d’intégration et les calculs intermédiaires pour éviter les erreurs de signe.