Nombres complexes (Partie 2) – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Cours : Nombres Complexes (Partie 2)

Ce cours couvre trois thèmes principaux : la notation exponentielle, la résolution d’équations du second degré dans ℂ, et l’écriture complexe de transformations géométriques.

1. Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul

• Pour un complexe z de module r et d’argument α, la forme exponentielle est : z = r e^iα.
• Propriétés clés : e^iα * e^iβ = e^i(α+β), (e^iα)ⁿ = e^inα (Formule de Moivre).
• Formules d’Euler : Elles expriment cos(α) et sin(α) en fonction d’exponentielles complexes : cos(α) = (e^iα + e^-iα)/2 et sin(α) = (e^iα – e^-iα)/(2i).
• Application : Linéarisation (ex : transformer cos³(x) en une somme de cosinus d’angles multiples).

2. Équations du deuxième degré à coefficients réels

• Pour l’équation az² + bz + c = 0 (a≠0), on calcule le discriminant Δ = b² – 4ac.
• Résolution selon Δ :
  • Si Δ = 0 : une solution réelle double : z = -b/(2a).
  • Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes : z = (-b ± √Δ)/(2a).
  • Si Δ < 0 : deux solutions complexes conjuguées : z = (-b ± i√(-Δ))/(2a).
• Relations utiles : Somme et produit des racines : z₁ + z₂ = -b/a et z₁ * z₂ = c/a.

3. Écriture complexe des transformations

• Translation de vecteur u d’affixe b : z’ = z + b.
• Homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k (k∉{0,1}) : z’ – ω = k(z – ω) ou z’ = kz + b (avec b = ω – kω). Le centre invariant est ω = b/(1-k).
• Rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ : z’ – ω = e^iθ(z – ω).

Conseils pour les examens : Maîtrisez les formules d’Euler pour la linéarisation. Pour les équations du second degré, identifiez toujours le signe de Δ. Pour les transformations, reconnaissez la forme de l’écriture z’ = az + b : si a=1 c’est une translation, si a∈ℝ* et a≠1 c’est une homothétie, si |a|=1 et a∉ℝ c’est une rotation.