Fonctions exponentielles – Cours

Résumé et Points Clés

Fonctions exponentielles – Résumé

Ce cours traite principalement de la fonction exponentielle népérienne, notée exp(x) = e^x, et des fonctions exponentielles de base a (a > 0, a ≠ 1).

Concepts et Définitions Clés :

• La fonction exponentielle népérienne est définie comme la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien : y = e^x ⇔ x = ln(y).
• Propriétés fondamentales : Pour tout x ∈ ℝ, e^x > 0. De plus, e^ln(x) = x (pour x>0) et ln(e^x) = x.
• Propriétés algébriques : e^a+b = e^a × e^b ; e^a-b = e^a/e^b ; (e^a)^r = e^a×r.
• La fonction exponentielle de base a est définie par : a^x = e^{x ln(a)}.

Analyse de la fonction e^x :

• Elle est continue, dérivable et strictement croissante sur ℝ.
• Dérivée : (e^x)’ = e^x. Plus généralement, (e^u(x))’ = u'(x) × e^u(x).
• Limites importantes : lim_x→-∞ e^x = 0 ; lim_x→+∞ e^x = +∞.
• Tableau de variation : Croissante sur ℝ, avec une limite nulle en -∞ et +∞ en +∞.

Fonction exponentielle de base a :

• Si a > 1, la fonction a^x est strictement croissante.
• Si 0 < a < 1, la fonction a^x est strictement décroissante.
• Dérivée : (a^x)’ = ln(a) × a^x.

Conseils pour les examens :

• Maîtriser le lien entre exponentielle et logarithme pour résoudre des équations (ex : e^x = 3 ⇔ x = ln(3)).
• Pour les inéquations, utiliser la croissance de e^x : e^A < e^B ⇔ A < B.
• Pour les limites en ±∞, se rappeler des croissances comparées (l’exponentielle l’emporte sur toute puissance).
• Pour la dérivation, bien appliquer la formule (e^u)’ = u’ × e^u.
• Pour les fonctions de base a, penser à les réécrire sous la forme e^{x ln(a)} pour faciliter l’étude.