Nombres complexes (Partie1) – Cours

Résumé et Points Clés

Titre : Nombres complexes (Partie 1) – Résumé du Cours

Ce cours introduit l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, comme une extension de l’ensemble des réels ℝ pour résoudre des équations sans solution réelle, comme x² + 1 = 0. On définit le nombre imaginaire i tel que i² = -1.

Concepts et Définitions Clés :

• Forme algébrique : Tout nombre complexe s’écrit z = a + bi, où a (partie réelle, Re(z)) et b (partie imaginaire, Im(z)) sont réels.
• Conjugué : Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a – bi.
• Opérations dans ℂ : L’addition et la multiplication suivent les mêmes propriétés (commutativité, associativité) que dans ℝ. Des formules spécifiques sont données pour l’addition, la multiplication, l’inverse et le quotient.
• Représentation géométrique : À tout complexe z = x + yi, on associe un point M(x, y) dans un plan muni d’un repère orthonormé (plan complexe). L’affixe d’un vecteur ou d’un point permet des calculs géométriques (vecteur, milieu, alignement).
• Module : Le module de z = a + bi est |z| = √(a² + b²). Géométriquement, c’est la distance OM. On a |z|² = z * z̄.

Propriétés importantes et Astuces pour les examens :

• Pour montrer qu’un complexe est réel : z = z̄. Pour un imaginaire pur : z = -z̄.
• Maîtriser les formules des conjugués : z + z’ = z̄ + z’̄, z * z’ = z̄ * z’̄, (zⁿ) = (z̄)ⁿ.
• Le module est toujours un réel positif. |z – z’| représente la distance entre les points d’affixes z et z’.
• Pour simplifier un quotient, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
• En géométrie, l’affixe du vecteur AB est z_B – z_A. Celle du milieu I de [AB] est (z_A + z_B)/2.