Fonctions logarithmiques – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Fonctions logarithmiques – Exercices

Ce document est une série d’exercices complets sur les fonctions logarithmiques, destinée aux élèves de BAC BIOF. Il couvre les principaux concepts et techniques nécessaires à la maîtrise de ce chapitre.

Concepts et Définitions Clés :

• Le logarithme népérien, noté ln, est défini pour tout réel strictement positif.
• Les propriétés opératoires fondamentales : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) – ln(b), et ln(a^n) = n*ln(a).
• Le domaine de définition d’une fonction contenant un logarithme est l’ensemble des x tels que l’expression à l’intérieur du logarithme soit strictement positive.

Types d’Exercices Proposés :

• Domaine de définition : Déterminer l’ensemble de définition de fonctions impliquant des logarithmes, parfois combinés à des fractions ou des racines.
• Résolution d’équations et d’inéquations : Utiliser les propriétés des logarithmes pour résoudre des équations (ex. : ln(u(x)) = k) et des inéquations logarithmiques, en prenant soin de vérifier les conditions d’existence.
• Calculs et simplifications : Appliquer les propriétés pour calculer ou simplifier des expressions logarithmiques avec ou sans valeurs numériques approchées.
• Étude de fonctions : Calcul de limites (en 0, en +∞), dérivation (dérivée de ln(u)), recherche de primitives, et étude complète de fonctions (variations, branches infinies, courbe représentative).
• Logarithme décimal : Quelques exercices spécifiques utilisant le logarithme en base 10, noté log.

Conseils pour les Examens :

• Toujours commencer par déterminer le domaine de définition avant tout calcul sur une fonction ou toute résolution d’équation/inéquation logarithmique.
• Maîtriser parfaitement les propriétés de calcul pour transformer et simplifier les expressions.
• Pour les études de fonctions, bien connaître les limites de référence (ex. : limite de x*ln(x) en 0) et la formule de la dérivée.
• Vérifier systématiquement que les solutions trouvées appartiennent bien au domaine de définition initial.
• S’entraîner sur des exercices de difficulté croissante, comme ceux proposés ici, qui vont des applications directes à des problèmes de réflexion plus complexes.