Fonctions logarithmiques – Cours

Résumé et Points Clés

Fonctions logarithmiques – Résumé du Cours

Ce cours porte sur la fonction logarithme népérien, notée ln, définie comme la primitive de la fonction x → 1/x sur ]0, +∞[ qui s’annule en 1. Ses propriétés fondamentales sont : ln(1)=0, elle est dérivable avec (ln x)’ = 1/x, continue et strictement croissante sur son domaine.

Propriétés algébriques clés (pour a>0, b>0, r∈ℝ) :

• ln(ab) = ln a + ln b
• ln(1/a) = – ln a
• ln(a/b) = ln a – ln b
• ln(a^r) = r ln a

Étude de la fonction et limites importantes :

• Domaine de définition : Les expressions contenant ln(u(x)) sont définies pour u(x) > 0.
• Signe : ln x est négatif sur ]0,1[, nul en 1, et positif sur ]1,+∞[.
• Limites à connaître :
  • lim (x→+∞) ln x = +∞
  • lim (x→0+) ln x = -∞ (asymptote verticale x=0)
  • lim (x→+∞) (ln x)/x = 0
  • lim (x→1) (ln x)/(x-1) = 1

Fonction composée ln(u(x)) : Si u est dérivable et strictement positive, sa dérivée est (ln(u(x)))’ = u'(x)/u(x). Cette expression u’/u est appelée la dérivée logarithmique de u.

Conseils pour les exercices et examens :

• Pour résoudre équations/inéquations avec ln, commencez toujours par déterminer le domaine de définition (arguments > 0).
• Utilisez les propriétés algébriques pour simplifier les expressions avant de calculer.
• Maîtrisez les limites fondamentales, notamment les formes indéterminées impliquant ln.
• Pour dériver ln(u(x)), n’oubliez pas la formule u’/u et vérifiez que u(x) > 0.
• La croissance stricte de ln permet de comparer les logarithmes : a < b ⇔ ln a < ln b.