Fonctions primitives – Cours

Résumé et Points Clés

Fonctions Primitives – Résumé

Une fonction F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I si pour tout x dans I, F'(x) = f(x). Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Propriétés clés :

• Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives G de f sont de la forme G(x) = F(x) + c, où c est une constante réelle.
• Étant donnés un point x₀ dans I et une valeur y₀, il existe une unique primitive G de f telle que G(x₀) = y₀. Cela permet de déterminer la constante c pour une condition initiale spécifique.

Opérations sur les primitives :

• Si F est primitive de f et G est primitive de g, alors F+G est une primitive de f+g.
• Si F est primitive de f, alors αF est une primitive de αf (pour α un réel).

Tableau des primitives usuelles (à connaître) :

• Fonction : f(x)=xⁿ (n≠-1) → Primitive : F(x)= (1/(n+1))xⁿ⁺¹ + c
• f(x)=1/x → F(x)= 2√x + c
• f(x)=sin(x) → F(x)= -cos(x) + c
• f(x)=cos(x) → F(x)= sin(x) + c
• f(x)=sin(ax+b) → F(x)= -(1/a)cos(ax+b) + c (a≠0)
• f(x)=1/cos²(x) → F(x)= tan(x) + c

Conseils pour les examens : Maîtrisez le tableau des primitives usuelles. Pour trouver une primitive unique avec une condition initiale, trouvez d’abord la forme générale F(x)+c, puis utilisez la condition donnée pour calculer la constante c. Vérifiez toujours votre résultat en le dérivant.