Suites numériques – Exercices

Résumé et Points Clés

Suites Numériques – Exercices : Résumé des Concepts Clés

Ce document est une série d’exercices sur les suites numériques, couvrant les notions essentielles du programme de lycée (BAC). Les exercices visent à maîtriser les définitions, les méthodes d’étude et le calcul des limites.

Concepts et Définitions Principaux :

• Suite Récurrente : Suite définie par son premier terme et une relation de récurrence (ex : u_n+1 = f(u_n)).
• Monotonie : Étude de la croissance ou de la décroissance d’une suite (par récurrence, différence u_n+1 – u_n, ou par analyse de la fonction associée).
• Suite Bornée : Suite majorée et/ou minorée. Des techniques de majoration/minoration sont utilisées (ex : encadrement avec des fonctions trigonométriques).
• Suites Arithmétiques et Géométriques : Reconnaître ces suites via leur forme (v_n = v₀ + n*r) ou (v_n = v₀ * qⁿ). Un changement de variable (suite auxiliaire) est souvent nécessaire pour s’y ramener.
• Limite d’une Suite : Calcul utilisant les opérations sur les limites, les formes conjuguées pour les racines, et le théorème des gendarmes pour les suites avec des termes oscillants (sin, cos).
• Convergence : Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente (théorème de la limite monotone).

Conseils pour les Examens :

• Pour les suites récurrentes, commencez souvent par étudier la monotonie et la bornitude pour prouver la convergence.
• En cas de forme complexe, cherchez une suite auxiliaire (v_n = f(u_n)) plus simple (arithmétique ou géométrique).
• Pour les limites en l’infini avec des polynômes ou racines, factorisez par le terme de plus haut degré.
• Les démonstrations par récurrence sont fréquentes pour prouver des inégalités ou des propriétés.
• Maîtrisez les encadrements classiques : -1 ≤ sin(n) ≤ 1, et leurs conséquences sur les limites.