Suites numériques – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Cours : Suites Numériques

Ce cours traite des suites numériques, de leurs propriétés et de leurs limites, destiné aux niveaux 2 PC et 2 SV.

I. Généralités sur les suites

• Suite majorée/minorée/bornée : Une suite (uₙ) est majorée par M si ∀n, uₙ ≤ M, minorée par m si ∀n, uₙ ≥ m, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Monotonie : Une suite est croissante (uₙ ≤ uₙ₊₁), strictement croissante (uₙ < uₙ₊₁), décroissante (uₙ ≥ uₙ₊₁), strictement décroissante (uₙ > uₙ₊₁), constante (uₙ = uₙ₊₁), ou périodique de période T (uₙ₊ₜ = uₙ).

II. Suites arithmétiques

• Définition : Suite de raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + (n – n₀)r.
• Somme : Sₙ = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme)/2. Propriété caractéristique : u_q = u_p + (q-p)r. Moyenne arithmétique : pour trois termes consécutifs a, b, c, on a b = (a + c)/2.

III. Suites géométriques

• Définition : Suite de raison q : uₙ₊₁ = q × uₙ. Terme général : uₙ = u₀ × q^(ⁿ⁻ⁿ⁰).
• Somme : Si q ≠ 1, Sₙ = premier terme × (1 – q^(nombre de termes))/(1 – q). Si q = 1, Sₙ = terme × nombre de termes. Propriété caractéristique : u_q = u_p × q^(q-p). Moyenne géométrique : pour trois termes consécutifs a, b, c, on a b² = a × c.

IV. Limites d’une suite numérique

• Limite finie : lim uₙ = l si tous les termes sont dans un intervalle ouvert centré en l à partir d’un certain rang. Exemple : lim 1/n = 0.
• Limite infinie : lim uₙ = +∞ (ou -∞) si tous les termes dépassent tout réel A à partir d’un certain rang.
• Convergence : Une suite est convergente si sa limite est finie, divergente sinon. Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente.

V. Opérations sur les limites

• Les règles sont identiques à celles des fonctions (somme, produit, quotient). Exemple : si lim uₙ = l et lim vₙ = l’, alors lim (uₙ + vₙ) = l + l’.

VI. Critères de convergence

• Théorème des gendarmes : Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et lim vₙ = lim wₙ = l, alors lim uₙ = l.
• Si uₙ ≥ α > 0 et lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞ pour vₙ liée à uₙ.

Conseils pour les examens : Maîtrisez les définitions de majoration/minoration, la distinction entre suites arithmétiques et géométriques, et les méthodes pour étudier la convergence (monotonie, théorème des gendarmes). Entraînez-vous au calcul des limites avec les opérations usuelles.