Dérivation et étude des fonctions – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Dérivation et étude des fonctions – Exercices

Ce document est une série d’exercices sur la dérivation destinée aux élèves de Baccalauréat (BAC BIOF). Il couvre les concepts fondamentaux et les techniques essentielles pour maîtriser ce chapitre.

Concepts et Définitions Clés :

• Nombre dérivé et définition : Utilisation de la définition limite du taux d’accroissement pour prouver la dérivabilité en un point (ex: Exercice 1).
• Dérivabilité à gauche et à droite : Étude spécifique en des points particuliers (souvent x=0 ou x=1) pour déterminer si une fonction est dérivable. La non-égalité des nombres dérivés à gauche et à droite implique une non-dérivabilité (ex: Exercice 1, question 3).
• Interprétation géométrique : Le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente (ou de la demi-tangente) à la courbe de la fonction. Un nombre dérivé infini indique une tangente verticale (ex: Exercices 2 et 3).
• Calcul de la fonction dérivée : Application des formules de dérivation (somme, produit, quotient, composée) pour des fonctions polynômes, trigonométriques, irrationnelles et rationnelles (ex: Exercices 6, 7, 11).
• Fonction réciproque et dérivation : Étude de la bijectivité d’une fonction (comme cosinus sur [0, π]) et calcul de la dérivée de sa fonction réciproque (ex: Exercices 8 et 10).
• Utilisation de la dérivée : Pour le calcul de limites (formes indéterminées) et pour donner des approximations affines (ex: Exercices 13 et 5).

Conseils pour les Examens :

• Maîtrisez parfaitement la définition par limite du nombre dérivé, c’est une question classique.
• Pour étudier la dérivabilité en un point où la définition de la fonction change, calculez systématiquement la limite à gauche et à droite.
• N’oubliez pas de lier le résultat analytique (nombre dérivé) à son interprétation géométrique (tangente) dans vos réponses.
• Entraînez-vous au calcul de dérivées, y compris pour les fonctions composées, jusqu’à l’automatisme.
• Pour les limites, identifiez la forme indéterminée et pensez à utiliser le nombre dérivé (limite du taux d’accroissement) lorsque la forme s’y prête.

Le document se conclut par un proverbe soulignant l’importance de la pratique régulière des exercices pour réussir en mathématiques.