Dérivation et étude des fonctions – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé : Dérivation et étude des fonctions

Ce cours aborde la dérivabilité des fonctions en un point et sur un intervalle, ainsi que l’étude de leurs propriétés géométriques et analytiques.

Concepts clés :

• Dérivabilité en un point x₀ : Une fonction f est dérivable en x₀ si la limite du taux d’accroissement existe. On définit aussi la dérivabilité à droite et à gauche. f est dérivable en x₀ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en ce point et que f’ₐ(x₀) = f’₉(x₀).
• Interprétation géométrique : Le nombre dérivé f'(x₀) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀. L’équation de cette tangente est y = (x – x₀)f'(x₀) + f(x₀). Si les dérivées à droite et à gauche diffèrent, le point est dit “anguleux”.
• Dérivabilité sur un intervalle et fonction dérivée : Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I. On définit alors sa fonction dérivée f’, et par récurrence ses dérivées successives (seconde, n-ième).
• Opérations sur les fonctions dérivables : Somme, produit, quotient et composition de fonctions dérivables sont dérivables, avec des formules spécifiques (ex: (u+v)’=u’+v’, (uv)’=u’v+uv’).
• Dérivées des fonctions usuelles : Le cours donne les dérivées des fonctions polynomiales, rationnelles, puissances, et trigonométriques (sin, cos, tan).
• Dérivée de la fonction réciproque : Un théorème est énoncé (sans détail ici) pour la dérivée de la bijection réciproque.

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez parfaitement les définitions de la dérivabilité en un point et des dérivées latérales.
• Sachez associer la valeur de la dérivée à la pente d’une tangente et réciproquement.
• Entraînez-vous à calculer des dérivées en utilisant les formules des opérations (produit, quotient, composition).
• Pour une fonction définie par morceaux, étudiez soigneusement la dérivabilité aux points de raccordement en calculant les dérivées à droite et à gauche.
• Dans un problème d’étude de fonction, le calcul de la dérivée est une étape cruciale pour déterminer les variations.