Limites et continuité – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Limites et Continuité – Exercices

Ce document est une série d’exercices corrigés sur la continuité des fonctions. Les exercices abordent les concepts clés suivants :

• Définition de la continuité en un point : Une fonction f est continue en un point a si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a). Les exercices testent cette condition pour des fonctions définies par morceaux (Exercices 1, 2).
• Étude de la continuité sur un intervalle : Il faut vérifier la continuité sur chaque “morceau” (où la fonction est souvent polynomiale, affine ou rationnelle) et aux points de raccordement.
• Applications concrètes : Modélisation de situations réelles par des fonctions en escalier (tarif postal, impôt par tranches) qui sont discontinues aux points de changement de tranche (Exercices 3, 4).
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Utilisé pour prouver l’existence de solutions à une équation f(x)=k sur un intervalle où f est continue et strictement monotone (Exercices 5, 6, 7, 8, 9, 10).
• Méthodologie d’étude : Pour étudier la continuité en un point de raccord x=a, il faut calculer la limite à gauche (lim x→a⁻ f(x)), la limite à droite (lim x→a⁺ f(x)) et vérifier si elles sont égales entre elles et à f(a).

Conseils pour l’examen : Maîtrisez parfaitement l’étude de la continuité pour les fonctions définies par morceaux. Sachez appliquer le TVI en justifiant soigneusement la continuité et la stricte monotonie sur l’intervalle considéré. Entraînez-vous à interpréter graphiquement la continuité et les discontinuités.