Limites et continuité – Cours

Résumé et Points Clés

Limites et continuité – Résumé

Ce cours traite de la continuité des fonctions, un concept clé en analyse.

I. Continuité en un point

• Définition : Une fonction \(f\) est continue en un point \(x_0\) si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
• Continuité à droite/gauche : \(f\) est continue à droite de \(x_0\) si \(\lim_{\substack{x \to x_0 \\ x > x_0}} f(x) = f(x_0)\). Elle est continue à gauche si \(\lim_{\substack{x \to x_0 \\ x < x_0}} f(x) = f(x_0)\).
• Propriété importante : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en ce point.

II. Continuité sur un intervalle

• Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• Sur un intervalle fermé \([a, b]\), elle doit être continue sur \(]a, b[\), continue à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).

III. Opérations et fonctions usuelles

• La somme, le produit et la composition de fonctions continues sont continues. Le quotient est continu si le dénominateur ne s’annule pas.
• Les fonctions polynômes, rationnelles, \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\sqrt{x}\) et \(\tan(x)\) (sur son domaine) sont continues.

IV. Image d’un intervalle & Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
• Si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, on peut préciser l’image de cet intervalle (tableaux fournis dans le cours).
• Théorème des Valeurs Intermédiaires : Si \(f\) est continue sur \([a, b]\), alors pour toute valeur \(k\) comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\) dans \([a, b]\) tel que \(f(c)=k\).

Conseils pour les examens :

• Pour étudier la continuité en un point, vérifiez systématiquement la continuité à droite et à gauche.
• Pour les fonctions définies par morceaux, la continuité aux points de raccordement est souvent testée.
• Maîtrisez les images d’intervalles par les fonctions continues et monotones, c’est un outil puissant pour résoudre des équations.
• Le TVI est essentiel pour prouver l’existence de solutions.