2022 : Normale – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Sujet de Mathématiques – Baccalauréat 2022, Session Normale, Filière Sciences Mathématiques (Option Française)

Ce document présente le sujet de l’examen national unifié du baccalauréat pour la session normale de 2022, filière Sciences Mathématiques (options A et B, option française). L’épreuve de mathématiques, d’une durée de 4 heures et de coefficient 9, est composée de quatre exercices indépendants traitant des domaines suivants :

• Exercice 1 (10 points) : Analyse. Il porte sur l’étude d’une fonction définie par parties, impliquant continuité, dérivabilité, calcul de limites, variations, représentation graphique, et l’étude d’une suite récurrente associée. Une partie importante est consacrée au calcul intégral (intégration par parties, calcul d’aire).
• Exercice 2 (3.5 points) : Nombres Complexes. Il traite de la résolution d’une équation du second degré dans ℂ, des propriétés des racines cubiques de l’unité (notamment j), et des transformations géométriques (rotation/homothétie) dans le plan complexe, aboutissant à la preuve qu’un triangle est équilatéral.
• Exercice 3 (3 points) : Arithmétique. Il consiste en l’étude diophantienne de l’équation (E_n): x^(n+1) – x^n = n y, pour n > 1. En utilisant les propriétés de la congruence modulo le plus petit diviseur premier p de n, on démontre que cette équation n’admet pas de solutions dans ℕ², que n soit pair ou impair.
• Exercice 4 (3.5 points) : Structures Algébriques. L’exercice étudie un sous-ensemble E de matrices carrées d’ordre 2. Il s’agit de montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif unitaire et intègre, en définissant et utilisant un homomorphisme d’anneaux φ, et en caractérisant les éléments inversibles de E.

Conseils pour l’examen : L’usage de la calculatrice et de l’encre rouge est interdit. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre. Il est crucial de bien gérer son temps sur l’exercice d’analyse (le plus long et le plus noté) et de soigner la rigueur des démonstrations, notamment dans les parties d’arithmétique et d’algèbre.