2020 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé de l’épreuve de Mathématiques – Baccalauréat 2020, Session Normale (Sciences Mathématiques A et B)

Ce document présente le sujet de l’examen national unifié du baccalauréat pour la session normale de 2020, destiné aux filières des Sciences Mathématiques (options A et B). L’épreuve, d’une durée de 4 heures et d’un coefficient 9, est composée de quatre exercices indépendants. Le candidat doit obligatoirement traiter l’Exercice 3 et l’Exercice 4, et choisir entre l’Exercice 1 ou l’Exercice 2, pour un total de trois exercices. L’usage de la calculatrice est strictement interdit.

Structure et Contenu des Exercices :

• Exercice 1 (3,5 points – au choix) : Arithmétique. Il s’agit de l’étude de l’équation diophantienne (E) : 37x – 13y = 5 dans ℤ×ℤ. Les questions guident vers la démonstration que cette équation n’admet pas de solution, en utilisant des propriétés de congruence modulo 13 et le théorème de Bézout.
• Exercice 2 (3,5 points – au choix) : Structures Algébriques. Cet exercice porte sur l’ensemble E des matrices carrées d’ordre 2 de forme spécifique. Il faut démontrer que (E, ×) est un groupe non commutatif, puis étudier un sous-ensemble F et un homomorphisme pour montrer que (F, ×) est un groupe commutatif.
• Exercice 3 (3,5 points – obligatoire) : Nombres Complexes. L’exercice est divisé en deux parties. La première concerne la résolution d’une équation polynomiale du troisième degré dans ℂ et des manipulations sur les solutions. La seconde partie utilise la géométrie du plan complexe, avec l’étude de rotations et de propriétés de figures (alignement, perpendicularité, égalité de distances).
• Exercice 4 (13 points – obligatoire) : Analyse. C’est l’exercice le plus long et le plus pondéré. Il est divisé en trois parties centrées sur une fonction f définie par f(x)=x³(1+ln(1/(1+x))).
  • Première partie : Étude complète de la fonction f (dérivabilité, variations, bijection, représentation graphique).
  • Deuxième partie : Étude d’une suite récurrente définie par u₀ et u_{n+1}=f(u_n), en démontrant sa monotonie, sa convergence et en calculant sa limite.
  • Troisième partie : Étude d’une fonction F, primitive de f, incluant le calcul de sa limite et l’évaluation d’une intégrale. Elle se termine par l’étude de la convergence d’une suite numérique (v_n) définie à l’aide de F.

Conseils pour l’examen : Bien gérer son temps en raison du poids important de l’Exercice 4. Pour les exercices au choix, sélectionner celui qui correspond le mieux à ses points forts (arithmétique ou algèbre). Dans l’Exercice 4, soigner la rigueur des démonstrations et l’enchaînement logique des questions, nombreuses et interdépendantes. L’utilisation d’un théorème intermédiaire (proposition P) est cruciale dans plusieurs questions.