2016 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé de l’examen national unifié du baccalauréat (Session normale 2016) – Mathématiques, Sciences Mathématiques (A) et (B) – Traduction française

Ce sujet d’examen de 4 heures est composé de cinq exercices indépendants couvrant les principaux champs des mathématiques au programme. L’usage de la calculatrice et de l’encre rouge est interdit.

Exercice 1 (3,5 points) : Structures algébriques

• Étude d’un ensemble E de matrices 3×3 de forme spécifique. Il s’agit de montrer que E est un sous-groupe pour l’addition, puis qu’il forme un corps commutatif pour l’addition et la multiplication matricielles.
• Un homomorphisme est défini entre le corps des complexes (C*, ×) et le groupe (E*, ×).
• Une question finale montre qu’aucun élément de E n’est inversible dans l’anneau des matrices 3×3.

Exercice 2 (3 points) : Arithmétique

• Première partie : Utilisation du théorème de Fermat et des congruences pour étudier les conditions de divisibilité par le nombre premier 173 de l’expression a³ + b³ et de la somme a + b.
• Deuxième partie : Résolution dans **N**² de l’équation diophantienne (E) : x³ + y³ = 173xy + 1.

Exercice 3 (3,5 points) : Nombres complexes

• Étude géométrique de points définis par une relation d’affixe. On démontre l’appartenance d’un point M au cercle circonscrit d’un triangle, puis à la médiatrice d’un segment sous certaines conditions (rotation).
• L’exercice utilise les formes trigonométriques et les propriétés des rotations dans le plan complexe.

Exercice 4 (7 points) : Analyse (Fonctions et suites)

• Première partie : Application du théorème des accroissements finis à la fonction t → e^(-t) pour établir des inégalités classiques liant exponentielle et logarithme.
• Deuxième partie : Étude complète d’une fonction f définie par f(x) = x/(e^x – 1). Analyse de la continuité, dérivabilité, limites, variations et interprétations graphiques (asymptote).
• Troisième partie : Étude d’une suite récurrente définie par u_(n+1) = ln(f(u_n)). On montre qu’elle est strictement décroissante, positive et convergente vers 0.

Exercice 5 (3 points) : Analyse (Intégrales et bijections)

• Étude d’une fonction F définie par une intégrale à paramètre : F(x) = ∫(de 1 à x) [dt/(e^t – 1)].
• Calcul de sa dérivée, étude de ses variations et de ses limites.
• Démonstration que F est une bijection de I = ]0, +∞[ vers un intervalle J à déterminer, puis recherche de sa bijection réciproque F⁻¹. Une technique de changement de variable est utilisée pour calculer l’intégrale.

Conseils pour l’examen : Les exercices sont indépendants, traitez-les dans l’ordre qui vous convient. Portez une attention particulière aux justifications rigoureuses, notamment dans les démonstrations d’algèbre (groupes, corps) et d’analyse (théorèmes, limites). La gestion du temps est cruciale compte tenu du coefficient élevé (9) et de la longueur de l’épreuve.