Nombres complexes (Partie 2) – Cours

Résumé et Points Clés

Titre : Nombres complexes (Partie 2) – Exercices et applications

Ce document est une série d’exercices sur les nombres complexes destinée aux élèves de 2ème année du baccalauréat scientifique (SM). Il couvre des notions avancées et des applications essentielles pour les examens.

Concepts et thèmes clés :

• Formes des nombres complexes : Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et trigonométrique.
• Formule de Moivre et formules d’Euler : Utilisées pour démontrer des identités trigonométriques (cos(2θ), sin(3θ), etc.) et pour la linéarisation d’expressions (comme cos⁴θ ou sin⁵θ).
• Racines des nombres complexes : Calcul des racines carrées et résolution d’équations du second degré dans ℂ.
• Résolution d’équations polynomiales complexes : Recherche de racines, y compris des racines imaginaires pures, et factorisation de polynômes.
• Racines n-ièmes de l’unité : Détermination et écriture sous forme algébrique.
• Transformations géométriques dans le plan complexe : Écriture complexe et application des translations, des homothéties et des rotations. Détermination de la nature d’une transformation à partir de son écriture.

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez les formules de passage entre les différentes formes d’un nombre complexe (algébrique, trigonométrique, exponentielle).
• Entraînez-vous à utiliser les formules de Moivre et d’Euler pour linéariser ou transformer des expressions trigonométriques.
• Pour résoudre une équation polynomiale dans ℂ, cherchez d’abord une racine évidente (souvent réelle ou imaginaire pure) pour factoriser le polynôme.
• Pour les transformations géométriques, mémorisez les formes générales des écritures complexes des translations (z’ = z + b), homothéties (z’ – ω = k(z – ω)) et rotations (z’ – ω = e^(iθ)(z – ω)).