Le produit scalaire – Exercices

Résumé et Points Clés

Chapitre 14 : Produit Scalaire

Ce chapitre définit le produit scalaire de deux vecteurs et présente ses propriétés et applications principales.

I. Définition du produit scalaire

• Cas de vecteurs colinéaires : Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires u et v est le réel u.v défini par u.v = ||u|| × ||v|| s’ils sont de même sens, et u.v = -||u|| × ||v|| s’ils sont de sens contraire. Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
• Carré scalaire : Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est noté u² et u² = ||u||².
• Cas général (vecteurs non nuls) : Le produit scalaire est défini à l’aide de la projection orthogonale. Si v’ est le projeté orthogonal de v sur la direction de u, alors u.v = u.v’.

II. Propriétés du produit scalaire

• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u ⟂ v ⇔ u.v = 0.
• Propriétés algébriques : Le produit scalaire est symétrique (u.v = v.u), distributif par rapport à l’addition, et compatible avec la multiplication par un scalaire. De plus, u.u ≥ 0 et n’est nul que si u est le vecteur nul.
• Identités remarquables : Des formules similaires à celles du développement algébrique sont présentées (ex: (u+v)² = u² + v² + 2 u.v).
• Autre expression : u.v = (1/2)(||u||² + ||v||² – ||u-v||²).

III. Forme géométrique

• Pour deux vecteurs non nuls, le produit scalaire s’exprime par : u.v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où θ est l’angle entre les deux vecteurs.

IV. Applications

• Relations métriques dans le triangle rectangle : Inclut le théorème de Pythagore et des relations impliquant la hauteur et les projections.
• Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) : Généralise le théorème de Pythagore à tout triangle. Par exemple, dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² – 2(AB.AC)cos(Â).
• Théorème de la médiane : Pour tout point M du plan et I milieu de [AB], on a : MA² + MB² = 2 MI² + (1/2)AB².

Conseils pour les examens : Maîtrisez la définition géométrique (projection) et la formule avec le cosinus. Sachez passer de l’une à l’autre selon l’exercice. Utilisez les propriétés d’orthogonalité pour prouver que des droites sont perpendiculaires. Les théorèmes d’Al-Kashi et de la médiane sont des outils puissants pour les calculs de longueurs dans les triangles.