Transformations du plan – Cours

Résumé et Points Clés

Chapitre 13 : Transformations du plan

Ce chapitre couvre les principales transformations géométriques du plan. Une transformation T associe à tout point M un unique point M’. Un point est invariant si T(M)=M.

I. Rappel : Symétries et Translation

• Symétrie centrale (de centre O) : Le point M’ est tel que O soit le milieu de [MM’]. Le centre O est le seul point invariant. Propriété caractéristique : M’N’ = -MN.
• Symétrie orthogonale (d’axe Δ) : L’axe Δ est la médiatrice de [MM’]. Les points de l’axe sont invariants.
• Translation (de vecteur u) : Le point M’ est défini par MM’ = u. Aucun point invariant si le vecteur est non nul. Propriété caractéristique : M’N’ = MN.

Propriétés communes : Ces trois transformations conservent l’alignement, les longueurs, les mesures d’angles, les aires, le parallélisme et la perpendicularité. L’image d’une figure (segment, droite, cercle, triangle) est une figure de même type.

II. L’Homothétie

Définie par un centre O et un rapport k (réel non nul), elle associe à M le point M’ tel que OM’ = k OM. Le centre O est le seul point invariant (si k≠1). Cas particuliers : si k=-1, c’est une symétrie centrale.

Effets : Une homothétie multiplie les distances par |k|, les aires par k². Elle conserve l’alignement, le parallélisme et les angles orientés, mais pas les distances.

Images de figures : Elle transforme une droite en une droite parallèle. L’image d’un cercle est un cercle de rayon multiplié par |k|. Deux triangles sont dits homothétiques s’ils sont en configuration de Thalès.

Conseils pour l’examen : Maîtriser les définitions vectorielles et les propriétés caractéristiques de chaque transformation. Savoir reconnaître et construire l’image d’une figure. Pour l’homothétie, bien comprendre l’effet du rapport k sur les distances et les aires.