Généralités sur les fonctions – Exercices

Résumé et Points Clés

Généralités sur les fonctions – Résumé des concepts clés

Ce cours présente les notions fondamentales sur les fonctions numériques.

I. Définition d’une fonction : Une fonction f est un procédé qui associe à tout nombre x d’un ensemble E un nombre unique noté f(x). f(x) est l’image de x. Si f(x)=y, alors x est un antécédent de y.

II. Ensemble de définition : C’est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable x pour que f(x) existe. Il faut exclure les valeurs qui rendent l’expression impossible (division par zéro, racine carrée d’un nombre négatif).

III. Courbe représentative : C’est l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) dans le plan. Un point M(a,b) appartient à la courbe si et seulement si b = f(a).

IV. Parité des fonctions :

• Une fonction est paire si pour tout x de son domaine, f(-x) = f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Une fonction est impaire si pour tout x, f(-x) = -f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

V. Sens de variation :

• Croissante sur un intervalle I : si a < b alors f(a) ≤ f(b).
• Décroissante sur I : si a < b alors f(a) ≥ f(b).
• Une fonction monotone est soit croissante, soit décroissante sur l’intervalle considéré.

VI. Maximum et minimum : Le maximum (resp. minimum) d’une fonction sur un intervalle est la plus grande (resp. plus petite) valeur qu’elle atteint. Il est souvent atteint au point où la fonction change de sens de variation.

VII. Résolutions graphiques :

• Résoudre f(x) = b revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe C_f avec la droite horizontale y = b.
• Résoudre f(x) > b revient à trouver les abscisses des points de C_f situés au-dessus de la droite y = b.
• Résoudre f(x) = g(x) revient à trouver les abscisses des points d’intersection des courbes C_f et C_g.

Conseils pour les exercices : Identifiez toujours l’ensemble de définition en premier. Pour les variations, étudiez le signe de la différence f(b)-f(a). Pour les résolutions graphiques, une esquisso soigneuse de la courbe est essentielle pour interpréter correctement les solutions.