Équations, inéquations et systèmes – Exercices

Résumé et Points Clés

Équations à une inconnue : Une équation est une égalité contenant une inconnue à déterminer. Une solution est une valeur qui vérifie l’égalité. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions. On utilise des règles de calcul : additionner ou multiplier les deux membres par un même nombre (non nul pour la multiplication) pour obtenir des équations équivalentes.

Techniques de résolution algébrique :

• Équation du premier degré : On développe, isole l’inconnue et on applique les règles de calcul.
• Équation de degré ≥ 2 : On ramène tous les termes dans un membre, on factorise, puis on utilise la règle du produit nul.
• Équation quotient : On identifie les valeurs qui annulent les dénominateurs (valeurs interdites), puis on résout l’équation numérateur=0 dans l’ensemble de définition.

Inéquations à une inconnue : On étudie le signe d’une expression à l’aide de tableaux de signes.

• Règles sur les inégalités : On peut ajouter un même nombre aux deux membres. Multiplier par un nombre positif conserve le sens, multiplier par un nombre négatif l’inverse.
• Résolution : Pour les inéquations de degré 1, on isole l’inconnue. Pour les degrés supérieurs ou les quotients, on construit un tableau de signes de l’expression factorisée.

Méthodes générales et conseils :

• Résolution graphique : Les solutions d’une équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes de f et g. Pour une inéquation, on compare graphiquement les courbes.
• Mise en équation d’un problème : Suivre les étapes : choix de l’inconnue, mise en équation, résolution, conclusion en vérifiant la cohérence des solutions avec le problème.
• Astuce pour les examens : Toujours vérifier les valeurs interdites dans les équations/inéquations quotients. Bien interpréter les tableaux de signes (attention aux bornes incluses ou exclues). Pour les problèmes, bien définir l’inconnue et son unité.