La projection dans le plan – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : La projection dans le plan – Exercices

Ce document présente une série d’exercices sur la projection dans le plan, destinés au Tronc Commun Scientifique. Les exercices visent à maîtriser la détermination des images de points par une projection affine et à appliquer ses propriétés fondamentales.

Concepts et Définitions clés :

• Projection affine : Une transformation qui, à tout point M du plan, associe un point M’ sur une droite (d) en suivant une direction de droite (Δ) donnée. Le point M’ est l’intersection de la droite parallèle à (Δ) passant par M avec la droite (d).
• Point invariant : Un point appartenant à la droite de projection (d) est sa propre image (il est invariant).
• Conservation du coefficient d’alignement : Propriété essentielle : si trois points A, B, C sont alignés avec AB = k * AC, alors leurs images A’, B’, C’ par une projection sont également alignées et vérifient A’B’ = k * A’C’.

Résumé des exercices et méthodes :

• Les exercices consistent souvent à déterminer les images de points (sommets d’un triangle, milieux) par des projections sur des côtés, parallèlement à d’autres.
• La méthode repose sur l’identification des points invariants (ceux sur la droite de projection) et l’utilisation de la géométrie du triangle (théorème de Thalès, milieux).
• La propriété de conservation du coefficient permet de déduire des rapports égaux (comme AM’ = (2/3)AC) ou de démontrer des alignements (réciproque de Thalès).

Conseils pour l’examen :

• Bien identifier la droite de projection et la direction de projection dans l’énoncé.
• Repérer immédiatement les points invariants pour simplifier les calculs.
• Utiliser systématiquement la propriété de conservation du coefficient pour transférer les rapports connus sur les images des points.
• Savoir relier ce chapitre au théorème de Thalès et aux configurations de milieux dans un triangle.