Arithmétique dans IN – Cours
Résumé et Points Clés
Arithmétique dans IN – Résumé du Cours
Ce cours d’arithmétique pour le tronc commun aborde les notions fondamentales sur les nombres entiers naturels.
I. Nombres pairs et impairs
- Définition : Un entier n est pair s’il est divisible par 2 (∃ k ∈ IN, n=2k). Sinon, il est impair (∃ k ∈ IN, n=2k+1).
- Exemples & Propriétés : 0 est pair, 1 est impair. La somme de deux pairs est paire, le produit de deux impairs est impair.
II. Critères de divisibilité
- Règles pour tester la divisibilité sans effectuer la division :
- Par 2 : Chiffre des unités pair.
- Par 3 (ou 9) : Somme des chiffres divisible par 3 (ou 9).
- Par 4 (ou 25) : Nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par 4 (ou 25).
- Par 5 : Chiffre des unités 0 ou 5.
- Par 11 : La différence entre la somme des chiffres de rang impair et pair (S1-S2) est divisible par 11.
III. Nombres premiers
- Définition : Un entier p ≥ 2 est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
- Nombres premiers entre eux : Deux entiers a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
- Théorème clé : Pour vérifier si un entier n est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers ≤ √n.
IV. Décomposition en facteurs premiers
- Tout entier a > 1 se décompose de manière unique en un produit de puissances de nombres premiers : a = p1α1 × p2α2 × … × pkαk.
- Cette décomposition est essentielle pour calculer le PGCD et le PPCM.
V. PGCD et PPCM
- PGCD(a,b) : Plus Grand Commun Diviseur. C’est le produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant.
- PPCM(a,b) : Plus Petit Commun Multiple. C’est le produit de tous les facteurs premiers communs et non communs affectés du plus grand exposant.
- Relation importante : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b.
VI. Division euclidienne
- Pour tout entier a (dividende) et b>0 (diviseur), il existe un unique couple (q, r) d’entiers tels que : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b.
- q est le quotient et r le reste.
Conseils pour les examens : Maîtrisez les critères de divisibilité pour gagner du temps. Pour les problèmes de PGCD/PPCM, commencez toujours par la décomposition en facteurs premiers. Pour prouver qu’un nombre est premier, utilisez la méthode de test jusqu’à √n. La relation PGCD × PPCM = a × b est très utile pour les problèmes avec deux inconnues.