Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

Ce document présente une étude détaillée d’un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale (GBF). L’objectif est d’analyser la réponse du circuit en régime sinusoïdal forcé, en se concentrant sur la tension aux bornes de la résistance (R) et du condensateur (C).

Concepts et Méthodes Clés :

• Fonction de transfert H(jω) : Rapport complexe entre la tension de sortie (Vs) et la tension d’entrée (Ve). Elle permet de déterminer le gain (G = |H|) et le déphasage (φ = arg(H)).
• Forme canonique : Pour l’étude, on exprime H(jω) sous une forme standard faisant intervenir la pulsation propre ω₀ = 1/√(LC) et le facteur de qualité Q.
• Pulsation réduite : Variable adimensionnelle u = ω/ω₀, simplifiant l’analyse.

I. Tension aux bornes de la Résistance (Filtre Passe-Bande)

• La fonction de transfert est H(jω) = R / [R + j(Lω – 1/(Cω))].
• Résonance : Le gain G est maximum (Gmax=1) à la pulsation propre (u=1, soit ω=ω₀). C’est la résonance en intensité.
• Bande passante : Définie à -3 dB, sa largeur est Δω = ω₀/Q. Le circuit est d’autant plus sélectif que Q est grand (R petite).
• Déphasage : φ décroît de +π/2 (à basse fréquence) à -π/2 (à haute fréquence). Il est nul à la résonance (ω=ω₀).

II. Tension aux bornes du Condensateur (Filtre Passe-Bas)

• La fonction de transfert est H(jω) = (1/(jCω)) / [R + j(Lω – 1/(Cω))].
• Résonance en tension : Un phénomène de résonance (gain maximum) n’existe que si Q > 1/√2. La pulsation de résonance ω_R est alors légèrement inférieure à ω₀.
• Pour Q élevé, le gain maximum vaut approximativement Q (surtension).
• Si Q ≤ 1/√2, le gain décroît constamment avec la fréquence.

Astuces pour les examens :

• Maîtriser la méthode de résolution : schéma complexe, lois des mailles/nœuds ou théorèmes (diviseur de tension).
• Savoir identifier ω₀ et Q à partir de la fonction de transfert pour la mettre sous forme canonique.
• Connaître les comportements asymptotiques (gain et phase) pour u→0 et u→∞.
• Pour la tension aux bornes de R, la résonance (Gmax=1) existe toujours. Pour la tension aux bornes de C, elle n’existe que si Q > 1/√2.
• Retenir la relation fondamentale de la bande passante pour un filtre passe-bande : Δω = ω₀/Q.