// 2017- Session de rattrapage – Cours

Résumé et Points Clés

Exercice 1 : Géométrie dans l’espace

L’exercice traite d’une sphère (S) et d’un plan (P). On montre que le centre de (S) est Ω(1,1,1) et son rayon R=√2. Le plan (P) d’équation y-z=0 passe par Ω, donc il coupe la sphère selon un grand cercle (C) de centre Ω et de rayon √2. On étudie ensuite une droite (Δ) orthogonale à (P) passant par A(1,-2,2). On prouve qu’elle coupe la sphère en deux points E(1,-1,1) et F(1,1,-1).

Exercice 2 : Probabilités

Un sac contient 10 boules (5 blanches, 3 rouges, 2 vertes). On tire simultanément 4 boules.

• Événement A : “exactement une boule verte”. P(A)=8/15.
• Événement B : “exactement trois boules de même couleur”. P(B)=19/70.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules vertes tirées. Sa loi de probabilité est :

• P(X=0)=1/3
• P(X=1)=8/15
• P(X=2)=2/15

Son espérance mathématique est E(X)=4/5.

Exercice 3 : Nombres complexes et suites

Partie 1 : Nombres complexes

• Résolution de z²+4z+8=0 : S={-2-2i, -2+2i}.
• Étude des points A, B, C d’affixes respectives a=-2+2i, b=4-4i, c=4+8i. On montre que B est l’image de C par une rotation de centre A et d’angle -π/2, donc le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
• L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z-ω|=6 (où ω est l’affixe du milieu de [BC]) est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Partie 2 : Suites

Étude de la suite (Uₙ) définie par U₀=17 et Uₙ₊₁=12+Uₙ/4.

• Elle est décroissante et minorée par 16, donc convergente.
• En introduisant Vₙ=Uₙ-16, on montre que (Vₙ) est géométrique de raison 1/4.
• On en déduit Uₙ=16+(1/4)ⁿ et lim Uₙ=16.
• La plus petite valeur de n telle que Uₙ < 16,0001 est n=7.

Problème : Étude de fonctions

Étude des fonctions g(x)=1-(x+1)eˣ et f(x)=1+x-(x+1)eˣ.

• g(x)≤0 sur [0,+∞[ et g(x)≥0 sur ]-∞,0].
• Limites de f : lim f(x)=-∞ en -∞.
• La droite (D): y=x+1 est asymptote à la courbe de f en -∞.