2023 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Exercice 1 (Géométrie dans l’espace) : Cet exercice traite de la géométrie analytique dans l’espace avec les points A, B, C. Les concepts clés incluent le produit vectoriel pour calculer l’aire d’un triangle, la distance d’un point à une droite, et la distance d’un point à un plan. On démontre que le vecteur normal au plan (ABC) est lié au rayon d’une sphère (S). Le plan (ABC) est tangent à la sphère (S) au point D, milieu de [AC]. Enfin, on détermine les équations de deux plans parallèles à (ABC) coupant (S) selon un cercle de rayon √5.

Exercice 2 (Nombres complexes) : L’exercice se concentre sur les nombres complexes et les transformations du plan. Les points A, B, C, D sont définis par leurs affixes. On utilise la forme trigonométrique, les arguments, et les propriétés des rotations. La rotation R de centre O et d’angle π/4 permet de montrer que R(C)=B et R(A)=D. On établit également l’alignement des points A, B, D et on calcule une mesure de l’angle (AC, AB).

Exercice 3 (Probabilités) : Il s’agit d’un problème de probabilités avec tirages successifs sans remise entre deux urnes U1 et U2. On définit les événements A et B, on calcule des probabilités conditionnelles, et on étudie la variable aléatoire X représentant le produit ab. La loi de probabilité de X est donnée (valeurs 0, 1, 2, 4). On montre que les événements M (ab=1) et N (ab pair non nul) sont équiprobables.

Problème (Analyse) : La fonction f est définie par f(x)=2x²-2x+1-ln(x). On manipule son expression pour étudier sa limite en 0+ (la question est incomplète dans le texte fourni).

Conseils pour l’examen :

• Géométrie : Maîtrisez le produit vectoriel (aire, normal), la distance point-plan, et les équations de sphères/plans.
• Complexes : Entraînez-vous sur la forme trigonométrique, les arguments, et les rotations.
• Probabilités : Utilisez des arbres pondérés pour les tiages successifs et vérifiez bien la loi de probabilité.
• Analyse : Simplifiez les expressions de fonctions avant de calculer les limites.