Dénombrement et probabilités – Cours
Résumé et Points Clés
Dénombrement et Probabilités – Résumé du Cours
Ce cours introduit les notions fondamentales du dénombrement, essentielles pour le calcul des probabilités.
I. Ensemble fini et Cardinal
- Un ensemble E est fini s’il contient un nombre n d’éléments (n ∈ ℕ).
- Le cardinal, noté card(E)=n, est le nombre d’éléments de E (card(∅)=0).
- Propriétés clés pour deux ensembles E et F :
- Si E ∩ F = ∅, alors card(E ∪ F) = card(E) + card(F).
- Généralement : card(E ∪ F) = card(E) + card(F) – card(E ∩ F).
- card(E × F) = card(E) × card(F).
- Pour A ⊂ E, le complémentaire de A dans E vérifie : card(A̅) = card(E) – card(A).
II. Principe Fondamental du Dénombrement (Principe du Produit)
- Si une expérience comporte p étapes de choix, et que l’étape i peut se faire de nᵢ manières différentes, alors le nombre total de résultats possibles est n₁ × n₂ × … × nₚ.
- Ce principe est illustré par un arbre des éventualités.
- Exemple : Lancer un dé deux fois donne 6 × 6 = 36 résultats possibles.
III. Arrangement avec Répétition
- Il s’agit d’ordonner p éléments choisis parmi n, avec la possibilité de répéter les éléments.
- Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments parmi n est : nᵖ.
- Modèle : Tirage successif avec remise de p boules dans une urne en contenant n.
IV. Arrangement sans Répétition
- Il s’agit d’ordonner p éléments choisis parmi n, sans pouvoir répéter un élément.
- Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n (0 ≤ p ≤ n) est :
- Anp = n × (n-1) × … × (n-p+1).
- Anp = n! / (n-p)! , où n! = 1×2×…×n (factorielle n, avec 0! = 1).
- Modèle : Tirage successif sans remise de p boules dans une urne en contenant n.
- Exemples : An0=1, An1=n, An2=n(n-1).
Conseils pour l’examen : Maîtrisez la distinction entre les situations avec et sans remise/répétition pour choisir la bonne formule (nᵖ ou Anp). Utilisez l’arbre des possibilités pour visualiser les cas simples. Vérifiez toujours que p ≤ n dans un arrangement sans répétition.