Géométrie dans l’espace (Produit scalaire dans l’espace – Produit vectoriel) – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours : Géométrie dans l’espace (Produit scalaire)

Ce cours traite du produit scalaire dans l’espace, de ses propriétés, de son expression analytique et de son application à la définition des plans.

I. Définition et propriétés du produit scalaire

• Pour deux vecteurs non nuls u et v, le produit scalaire u.v est défini géométriquement à l’aide d’une projection.
• Si u=0 ou v=0, alors u.v=0.
• Propriétés clés : symétrie, linéarité, et la relation u.v = ||u|| × ||v|| × cos(θ).
• Orthogonalité : u ⊥ v ⇔ u.v = 0.
• La norme est définie par ||u||² = u.u.

II. Base et repère orthonormé

• Un repère (O, i, j, k) est orthonormé si les vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
• Dans un tel repère, tout vecteur u a des coordonnées (x, y, z).

III. Expression analytique

• Si u=(x,y,z) et v=(x’,y’,z’), alors u.v = xx’ + yy’ + zz’.
• Norme : ||u|| = √(x² + y² + z²).
• Distance : AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²].

IV. Plans et vecteurs normaux

• Un vecteur n non nul est normal à un plan P s’il est orthogonal à tout vecteur directeur de P.
• L’ensemble des points M(x,y,z) vérifiant ax + by + cz + d = 0 (avec (a,b,c)≠(0,0,0)) est un plan. Le vecteur n=(a,b,c) est un vecteur normal à ce plan.
• Équation d’un plan défini par un point A et un vecteur normal n : n.AM = 0.

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez le calcul du produit scalaire sous ses formes géométrique et analytique.
• Retenez la condition d’orthogonalité u.v=0 et la formule de la norme.
• Pour les problèmes de plans, identifiez toujours un point et un vecteur normal pour établir l’équation cartésienne.
• Entraînez-vous à passer de la forme n.AM=0 à l’équation ax+by+cz+d=0 et vice-versa.