Équations différentielles – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Équations différentielles – Exercices

Ce document est une série d’exercices corrigés sur les équations différentielles destinée aux élèves de 2ème BAC Sciences Physiques et SVT. Il couvre les principaux types d’équations et les méthodes de résolution associées.

Concepts et Définitions Clés :

• Équation différentielle du premier ordre : de la forme y’ = ay ou y’ = ay + b. La solution générale est y(x) = λe^(ax) – b/a (si b≠0).
• Équation différentielle du second ordre à coefficients constants : de la forme y” + py’ + qy = 0. La résolution passe par l’équation caractéristique r² + pr + q = 0.
  • Si Δ > 0 : deux racines réelles r1 et r2. Solution : y(x) = αe^(r1x) + βe^(r2x).
  • Si Δ = 0 : une racine double r0. Solution : y(x) = (αx + β)e^(r0x).
  • Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées p ± iq. Solution : y(x) = e^(px)(α cos(qx) + β sin(qx)).
• Problème de Cauchy : Il s’agit de trouver une solution particulière vérifiant des conditions initiales données (valeurs de y et/ou y’ en un point). On détermine les constantes (λ, α, β) en résolvant un système d’équations.

Conseils pour les Examens :

• Identifier correctement le type d’équation (premier ou second ordre, avec ou sans second membre).
• Pour les équations du second ordre, écrire et résoudre systématiquement l’équation caractéristique.
• Pour les problèmes avec conditions initiales, bien calculer la dérivée de la solution générale avant d’appliquer les conditions.
• S’entraîner sur les trois cas de discriminant (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0) pour maîtriser les formes différentes des solutions.
• Vérifier la cohérence des résultats en reportant la solution trouvée dans l’équation de départ.